1、 参考书《数据压缩导论（第4版）》  Page 100

  5、给定如表4-9所示的概率模型，求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁ 的实值标签。

            

答案：

由概率模型以及题意可知：FX(0)=0，FX(1)=0.2，FX(2)=0.3，FX(3)=0.5

题目要求我们求出序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的实值标签，我们可以将其解读为对符号序列113231进行编码。

(1)第一个符号为1，所以其所在的区间为[l(1),u(1)),其中u(1)和l(1)分别为第一个出现的字符的上下界,

这里的l(1)=FX(0)=0，u(1)=FX(1)=0.2，所以其标签值包含在[0,0.2)之间。

 

(2)第二个符号为1，其区间在[a₀,a₁),按比例重新划分a1

下线为0，上线为0.2，区间间隔为0.2

0.2*0.2=0.04      0+0.04=0.04

0.2*0.3=0.06      0.04+0.06=0.1

0.2*0.5=0.1        0.1+0.1=0.2

所以其标签包含在[0,0.04)之间。

 

(3)第三个符号是3，其区间在[a₂,a₃),按比例重新划分a₁

下线为0，上线为0.04，区间间隔为0.04

0.04*0.2=0.008        0+0.008=0.008

0.04*0.3=0.012        0.008+0.012=0.02

0.04*0.5=0.02        0.02+0.02=0.04

 所以其标签包含在[0.02，0.04)之间。

 

(4)第四个符号是2，其区间在[a₁,a₂),按比例重新划分a₁

下线为0.02，上线为0.04，区间间隔为0.02

0.02*0.2=0.004         0.02+0.004=0.024

0.02*0.3=0.006         0.024+0.006=0.03

0.02*0.5=0.01           0.03+0.01=0.04

 所以其标签包含在[0.024，0.03)之间。

 

(5)第五个符号是3，其区间在[a₂,a₃),按比例重新划分a₁

下线为0.024，上线为0.03，区间间隔为0.006

0.006*0.2=0.0012         0.024+0.0012=0.0252

0.006*0.3=0.0018        0.0272+0.0048=0.027

0.006*0.5=0.003           0.027+0.003=0.03

 所以其标签包含在[0.027，0.03)之间。

 

(6)第六个符号是1，其区间在[a₀,a₁),按比例重新划分a₁

下线为0.027，上线为0.03，区间间隔为0.003

0.003*0.2=0.0006        0.027+0.0006=0.0276

0.003*0.3=0.0009        0.0276+0.0009=0.0285

0.003*0.5=0.015           0.0285+0.015=0.0435

 所以其标签包含在[0.027，0.0276)之间。

 

所以序列a₁a₁a₃a₂a₃a₁的实值标签

T=(0.027+0.0276)/2=0.0273

6、对于表4-9给出的概率模型，对于一个标签为0.63215699的长度为10的序列进行解码。

 解：由表4-9可以知道F(x1)=0.2,F(x2)=0.5,F(x3)=1.

 先假设 l⁽⁰⁾=0,u⁽⁰⁾=1.

1.  t^*=(0.63215699-0)/(1-0)=0.63215699

     F_x(2)=0.5<= t^*<= F_x(3)=1

     l⁽¹⁾= l⁽⁰⁾+( u⁽⁰⁾- l⁽⁰⁾) F_x(2)=0.5

     u⁽¹⁾= l⁽⁰⁾+( u⁽⁰⁾- l⁽⁰⁾) F_x(3)=1

     所以第一个字符为a₃

2.  t^*=(0.63215699-0.5)/(1-0.5)=0.26431398

     F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

     l⁽²⁾= l⁽¹⁾+( u⁽¹⁾- l⁽¹⁾) F_x(1)=0.6

     u⁽²⁾= l⁽¹⁾+( u⁽¹⁾- l⁽¹⁾) F_x(2)=0.75

     所以第二个字符为a₂

3.   t^*=(0.63215699-0.6)/(0.75-0.6)=0.21437993

     F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

     l⁽³⁾= l⁽²⁾+( u⁽²⁾- l⁽²⁾ F_x(1)=0.63

     u⁽³⁾= l⁽²⁾+( u⁽²⁾- l⁽²⁾) F_x(2)=0.635

     所以第三个字符为a₂

4.   t^*=(0.63215699-0.63)/(0.635-0.63)=0.431398

      F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

       l⁽⁴⁾= l⁽³⁾+( u⁽³⁾- l⁽³⁾) F_x(1)=0.631

       u⁽⁴⁾= l⁽³⁾+( u⁽³⁾- l⁽³⁾) F_x2)=0.6325

       所以第四个字符为a₂

5.     t^*=(0.63215699-0.631)/(0.6325-0.631)=0.77132667

        F_x(2)=0.5<= t^*<= F_x(3)=1

        l⁽⁵⁾= l⁽⁴⁾+( u⁽⁴⁾- l⁽⁴⁾) F_x(2)=0.63175

        u⁽⁵⁾= l⁽⁴⁾+( u⁽⁴⁾- l⁽⁴⁾) F_x(3)=0.6325

        所以第五个字符为a₃

6.      t^*=(0.63215699-0.63175)/(0.6325-0.63175)=0.5426533

         F_x(2)=0.5<= t^*<= F_x(3)=1

          l⁽⁶⁾= l⁽⁵⁾+( u⁽⁵⁾- l⁽⁵⁾) F_x(2)=0.632125

          u⁽⁶⁾= l⁽⁵⁾+( u⁽⁵⁾- l⁽⁵⁾) F_x(3)=0.6325

         所以第六个字符为a₃

7.        t^*=(0.63215699-0.632125)/(0.6325-0.632125)=0.04265333

           F_x(k)=0<= t^*<= F_x(1)=0.2

           l⁽⁷⁾= l⁽⁶⁾+( u⁽⁶⁾- l⁽⁶⁾) F_x(0)=0.632125

           u⁽⁷⁾= l⁽⁶⁾+( u⁽⁶⁾- l⁽⁶⁾) F_x(1)=0.632275

           所以第七个字符为a₁

8.         t^*=(0.63215699-0. 632125)/(0. 632125-0. 632275)=0.21326667

            F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

            l⁽⁸⁾= l⁽⁷⁾+( u⁽⁷⁾- l⁽⁷⁾) F_x(1)=0.632155

            u⁽⁸⁾= l⁽⁷⁾+( u⁽⁷⁾- l⁽⁷⁾) F_x(5)=0.6322

           所以第八个字符为a₂

9.         t^*=(0.63215699-0.632155)/(0.6322-0. 632155)=0.04422222

            F_x(0)=0<= t^*<= F_x(1)=0.2

            l⁽⁹⁾= l⁽⁸⁾+( u⁽⁸⁾- l⁽⁸⁾) F_x(0)=0.632155

            u⁽⁹⁾= l⁽⁸⁾+( u⁽⁸⁾- l⁽⁸⁾) F_x(1)=0.632164

            所以第九个字符为a₁

10.       t^*=(0.63215699-0.632155)/(0.632164-0.632155)=0.22111111

           F_x(1)=0.2<= t^*<= F_x(2)=0.5

           l⁽¹⁰⁾= l⁽⁹⁾+( u⁽⁹⁾- l⁽⁹⁾) F_x(1)=0.6321568

           u⁽¹⁰⁾= l⁽⁹⁾+( u⁽⁹⁾- l⁽⁹⁾) F_x(2)=0.6321595

           所以第十个字符为a₂

           所以，标签值为0.63215699的长度为10的序列解码后的序列为a₃a₂a₂a₂a₃a₃a₁a₂a₁a₂